Математика

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $p_1V_{1}^{1{,}4} = p_2V_{2}^{1{,}4}$, где $p_1$ и $p_2$ – давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, $V_1$ и $V_2$ – объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен $2{,}4$ л, а давление газа равно $0{,}5$ атмосфер. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало $64$ атмосферы? Ответ дайте в литрах.

Помощь:

Дано: $p_1 = 0{,}5\ атмосфер$ $V_1 = 2{,}4 \ л$ $p_2 = 64 \ атмосферы$ $V_2 \ - \ ?$ Подставляем эти значения в соотношение для объёма и давления

Получаем: $0{,}5 \cdot 2{,}4^{1{,}4} = 64 \cdot V_{2}^{1{,}4}$ Решаем

Умножаем обе части равенства на $2$: $2{,}4^{1{,}4} = 128 \cdot V_{2}^{1{,}4}$

Преобразуем показатель степени: $1{,}4 = \frac {14}{10} = \frac{7}{5}$ и $128 = 2^7$ Получаем: $2{,}4^{\frac{7}{5}} = 2^7 \cdot V_{2}^{\frac {7}{5}}$

Возводим обе части равенства в степень $\frac {5}{7}$ Помним, что $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m \quad (a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Получаем: $2{,}4^{\frac{7}{5} \cdot \frac {5}{7}} = 2^{7 \cdot \frac {5}{7}} \cdot V_{2}^{\frac {7}{5} \cdot \frac {5}{7}}$

В итоге: $2{,}4 = 2^5 \cdot V_2$ Откуда находим $V_2$

ЕГЭ 2027 В3 N10 — Тренировка

Помощь: